ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال

مندل برو پدر فراکتال

فراکتال ها Fractals

تشخیص فراکتال ها در بازار فارکس، دید تحلیلگر را بسیار قوی و منظم تر میکند.
با توضیحات این مقاله می توانید ساختار فرکتالی را آسوده تر تشخیص دهید.

فرکتال چیست؟

همه شما حتی چنانچه از هندسه هم چیزی ندانید بارها اسم آن را شنیده اید .
حتماً میدانید که «جبر , حساب و هندسه» سه شاخه کلیدی از ریاضی ها است .
همین سه تیتر در ریاضیات اساس گذار ترقی در تمام علم ها محسوب میشوند .
احتمال دارد همین احساس مسئولیتی که ریاضیات به تمام قسمت های علوم دارد آن را بسیار جدی و دشوار جلوه داده است .

در این میان هندسه نقش بسیار مهمی در شاخه های ریاضی دارد.
هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است.
زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت ندارند.
با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.
شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شد و معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم.

هندسه اقلیدس:

سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد.
که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود.
این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.
دست کم در طول دوران تحصیل خود در کتاب های درسی با این هندسه که بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده ایم.
اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد.
در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.

هندسه فرکتال:

در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست.
«مندلبرات» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند.
هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف نشان داده است.
با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان قرار گرفت.

واژه فراکتال به معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

در این نوع هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند.
اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند.
به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است.
به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.

اشکال فراکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است.
با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید.
از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و… همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند.
این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.
این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد.
اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند.
هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.
برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.
به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست.
اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد.
بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.
برای مثال: یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.
ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم.
تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد.
از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد.

بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم!

یک مثلث متساوی الاضلاع ترسیم نمایید .
اکنون وسط ۳ضلع را معلوم کرده و از ترسیم آن ها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید .
همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل‌شده بیرونی بکنید و این فرآیند را تا آنجا که میتوانید ادامه دهید .
شما با به کارگیری از یک ارتباط ساده که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آن ها به هم بود و با تکرار آن , موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید .
چنان اشکالی اجزای آفریننده هندسه دورازشوخی فراکتالی میباشند , هندسه ای که به قول مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار میدهد .

این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند!

کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.
در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است.
این یکی از خصوصیات زیبای فراکتال هاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.
اگر به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید.
ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد.
ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند.
پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود.
در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.

ابعاد فراکتال ها چگونه است؟

اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.
این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی. این ها ابعادی کسری دارند؟
فراکتال ها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند.
معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عددی ذخیره شود.
زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد، باید بتواند این کدهای عددی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند.
مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده هاست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد، نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم.
این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد.
به همین دلیل ،روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.
اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید.
برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، این امکان را می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

فشرده سازی الگو های فراکتالی!

در فشرده سازی از روشهای مختلفی استفاده می شود.
در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد به جای ضبط تمام داده ها، یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می دهد.
در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتال بود.
در این روش از این ویژگی اصلی فراکتال ها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.

یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.
مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است؛حتی اگر در نگاه اول چندان آشکار نباشد.
با دقت به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی ریاضی بکاهید.

برای درک بهتر فراکتال ها به یک مثال نگاهی بیندازیم:

فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.
این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد. یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی کوچکی از یک برگ، برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه را تشکیل می دهد.
برای ذخیره تصویر عادی برگ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم.
اما راه دیگری هم وجود دارد!

بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید.
در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.
در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.
در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد.
اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند.
بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.
باید روشی بتواند الگوهای فراکتال حاضر در یک تصویر را شناسایی و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛
یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید.

تئوریسین فراکتال ها:

مندلبورت در سال ۱۹۲۴ در لهستان بدنیا آمد.
او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فرا گرفت و در سال ۱۹۳۶ به فرانسه مهاجرت کرد.
در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش که پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.
این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود.
اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضایات بپردازد.

عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود.
او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند آکادمیک نمی نگریست.
این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند.
نبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند.
او در سال ۱۹۴۴ فرصت آنرا یافت تا در امتحانات پلی تکنیک قبول شود.
پس از پایان تحصیلات به آمریکا رفت و در انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.

بعد از ده سال دوباره به پاریس برگشت و شروع به کار برای مرکز ملی پژوهش ها علمی فرانسه نمود .
طولی نکشید که وصلت کرد و دوباره به ایالات متحده بازگشت و در آنجا با یک کمپانی آغاز به همیاری نمود .

تئوری فراکتال ها علاوه بر زیبایی خاصی ریاضی , از روشهای کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت میباشد .
آشنایی با فرکتال ها به هنرمندان اجازه میدهد تا اثر ها هنری بسیار زیبایی را خلق نمایند .

بررسی ویژگی های هندسی گره ها در تزیین های اسلامی از دیدگاه هندسه فرکتال-بخش دوم

واژة فرکتال مشتق از واژة لاتینی فراکتوس- به معنی سنگی که به شکل نامنظم شکسته خرد شده است- در سال ۱۹۷۵ برای اولین بار توسط بنوت مندل بروت مطرح شد. فرکتال ها، شکل هایی هستند که بر خلاف شکل های هندسی اقلیدسی، به هیچ وجه منظم نیستند. با ملاحظه اشکال موجود در طبیعت، مشخّص می شود که هندسة اقلیدسی قادر به تبیین و تشریح اشکال پیچیده و ظاهراً بی نظم طبیعی نیست (قبادیان، 1382 : 167 – 166). اصول رياضي هندسه طبیعت یا هندسه فركتال و توصيف بسياري از اشياي فركتال به گذشتة دوري بر ميگردد (شمس، 1380 : 50).
این هندسه سال هاست که توسط معماران و ریاضی دانان متعدّدی مورد بحث و بررسی قرارگرفته و به کارگیری آن در معماری و هندسه مصنوع مورد شک و تردید، نقض یا دفاع واقع شده است (افتخارزاده، 1384 : 100)..نظريّة فركتال برای توصيف پيچيدگي در اشكال به كار ميرود (پناهي، مختاباد امرئي، كريمي خياوي، 1388 : 61 ). فرکتال ها شکل هایی هستند که برعکس شکل های هندسة اقلیدسی، به هیچ وجه به معنی متعارف، منظم نیستند.
این شکل ها اولاً سراسر نامنظم اند، ثانیاً میزان بی نظمی آن ها در همة مقیاس ها یکسان است، یعنی به نوعی دیگر منظم اند. جسم فرکتالی از دور و نزدیک یکسان دیده می شود (خاک زند، احمدی، 1386 : 35-47). اشكال فركتال با فرآيندهاي پويا توليد مي شوند. فرآيندهاي پويا، فرآيندهايي هستند كه داراي حافظه هستند و رفتار آن ها به گذشته بستگي دارد. الگوی فرکتال می تواند فضای ایجاد شده توسط ساختار متفاوت فرکتال را اشغال نماید و الگوی پیچیده تری را حاصل کند. چنین نمونه ای در طبیعت متداول تر است و کمک بسیار زیادی در توضیح تنوع ها و زیبایی های موجود در محیط طبیعی میکند (بل، 1382 : 33).

3-2. بررسی ویژگی های فرکتال ها

در فرکتالها، اجزا و عناصر، در مقیاسهای مختلف تکرار می شوند. هر شکل از قطعات کوچکتری تشکیل شده است که این قطعات با ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال شکل اولیه متشابه هستند؛ به عبارت دیگر وقتی که یکی از قطعات کوچک تشکیل دهنده را به مقیاس شکل اصلی می رسانیم، دقیقاً همان شکل به دست می آید. این ویژگی را خودمتشابهی می نامیم.
فرکتالها به وسیله فرایندی تکرارشونده شکل می گیرند و هر تکرار از نتیجة قبلی اش ساخته شده است. این ویژگی را تکرارشوندگی می نامیم. •فرکتالها در هر مقیاسی یکسان به نظر می رسند. مجموعه هاي فركتال از زيرمجموعه هايي تشيكل شده اند كه اين زيرمجموعه ها شامل مجموعه هاي بزرگتر هستند. مجدداً اين مجموعه ها از زيرمجموعه هاي كوچكتري تشيكل شده اند. اين زير مجموعه ها نيز شبيه مجموعه هاي بزرگتر هستند که این ویژگی را خردمقیاسی می نامیم.
0فرکتال ها ابعاد منحصربه فردی دارند که به صورت ریاضی تعریف شده اند.. بُعد فرکتال یک معیار ریاضی در تعیین درجة پیچیدگی بافت در حال نمایش است که این ویژگی را بعد اعشار می نامیم(Davis,2008;2 Pellonisz). با نزدیک شدن به جسم فراکتال، میبینیم که تکه های کوچکی از آن که از دور همچون دانه های بی شکلی به نظر می رسید، به صورت جسم مشخّص در می آید که شکلش کم و بیش مانند همان شکلی است که از دور دیده می شود. در طبیعت نمونه های فراوانی از فراکتال ها دیده می شود.
درختان، ابرها، کوه ها، رودها، لبة سواحل دریا و گل کلم ها اجسام فراکتال هستند. در واقع، بخش کوچکی از درخت که شاخه آن باشد، شباهت به کل درخت دارد. این مثال را می توان در مورد ابرها، گل کلم، صاعقه و سایر اجسام فرکتال عنوان نمود. چند نمونه از فرکتال ها در جدول شمارة 6 آورده شده است.

جدول 6. دسته بندی ویژگی های فرکتال ها

همان طور که در جدول شمارة 6، مشاهده می شود به طور نمونه دانة برفي کخ ( Kock ) در همه جا پيوسته است، امّا در هيچ جا مشتق پذير نيست. اين منحني داراي محيط بي نهايت با سطح محدود است. نكتة قابل توجّه اين دانة برفي با استفاده از فرآيندی تكراري و پويا توليد شده است، درصورتي كه اشيای اقليدسي با استفاده از فرآيندهاي ايستا توليد مي شوند. مثلث سرپینسکی (Serpinski ) نیز جزء يكي از معروف ترين اشيای فركتال است. این مثلث متساوی الاضلاع خاصيّت خودمتشابهی دارد (قبادیان، Davis,2008;2-9 166-167 :1382).

4. بررسی مقایسة ویژگی گره ها و فرکتال ها
در جدول شمارة 7، چند نمونه از گره و فرکتال را در کنار هم برای نمایش ویژگی های مشترک آورده ایم. با توجّه به نتایج به دست آمده از بررسی هایی که در ویژگی های گره ها انجام دادیم، به نتایجی دست یافتیم که مهم ترین آن این است:گره ها و فرکتال ها فصلنامه ویژگی های مشترکی دارند که هم در «طبیعت » یافت می شوند و هم از اشکال موجود در طبیعت بهره گرفت هاند؛ به عبارت دیگر هر دو منشأ طبیعی دارند.

نتیجه گیری
این نکته حائز اهمیّت است که همة تحلیل ها و نمایش ویژگی گره ها که در این مقاله بررسی گردیده، توسط برنامه های رایانه ای و با صرف وقت و دقت صورت گرفته است. حال این که هنرمندان اسلامی با چه ذوق هنری، درایت و دقّت بالایی از زما نهای دور با ابزار دستی و ساده، چنین نقوش متوازن، زیبا، هنرمندانه و پر رمز و رازی را خلق کرده اند، جای بسی تأمل و تفکر دارد. شیوة هنروری این هنرمندان، محققان را ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال در سراسر جهان شیفته خود کرده است.
بررسی گره ها به روشنی نشان داد که هندسۀ گره ها، ویژگی های لازم را برای قیاس با هندسۀ فرکتال دارد. ویژگی های مشترک فرکتال ها و گره ها را در جدول جمع بندی میبینیم. در این مقاله، فرکتال ها با چهار ویژگی اصلی که با آن شناخته می شوند، با گره ها مقایسه شده اند. گره ها علاوه بر ویژگی های فرکتالی، ویژگی دیگری نیز دارند که آن ها را در جدول شمارة 8 می بینیم. حال آن که ممکن است فرکتال ها ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال این ویژگی ها را نیز داشته باشند که بررسی آن ها در این مقاله نمی گنجد.
گره ها دارای ویژگی های تقارن، دوران، تناسب، نوزایی، مرکزگرایی، چند لایه ای (فولد)، مفهو مگرایی و نمادگرایی هستند. فرکتال ها دارای اشکال هندسه نااقلیدسی، هندسه غیر خطی، بی نظمی، اشکال غیرمتعارف، قوانین خاص، بی انتهایی و اشکال پیچ درپیچ هستند. هر دو دارای ویژگی های مشترک خود متشابهی، خرد مقیاسی، بعد اعشار و تکرارشوندگی هستند.
طبیعت، دستاورد بهترین معمار یعنی خدا و بهترین سرچشمة الهام انسان است.گره ها و فرکتال ها از اشکال موجود در طبیعت بهره و از آن الگو گرفته اند(هر دو منشأ طبیعی دارند). از آن جایی که در طبیعت تعادل وجود دارد، اشکال گره ها مانند فرکتال ها دارای تعادل هستند. برای وضوح مطلب نتایج را می توان در قالب دیاگرام زیر نشان داد:

فراکتال و نظم در بی نظمی

فراکتال، یا فرکتال (Fractal) ساختاری هندسی است متشکل از اجزایی که با بزرگ کردن هر جزء به نسبت معین، همان ساختار اولیه به دست آید. به عبارتی دیگر فرکتال ساختاری است که هر جزء از آن با کلش همانند است.
فراکتال ها در بسیاری از ساختارهای طبیعی مثل برف دانه ها، کوه ها، ابرها، ریشه، تنه و برگ درختان، رویش بلورها در سنگ های آذرین، شبکه آبراه ها و رودخانه ها، رسوبگذاری الکتروشیمیایی، رویش توده باکتری ها و سیستم عروق خونی، DNA و… دیده می شوند و با آنها می توان پدیده های طبیعی بسیاری را تشریح، تفسیر و پیش بینی کرد.
بسیاری از عناصر مصنوع دست بشر نظیر تراشه های سیلیکونی، منحنی نوسانات بازار بورس، رشد و گسترش شهرها نیز از قوانین فراکتالی پیروی می کنند.

هندسه بعد چهارم یا هندسه طبیعت

بنوا مندل برو (1389 ـ 1303) پدر هندسه فراکتالی، مبدع واژه فراکتال و کاشف مجموعه مندل برو است که تقریبا مادر تمام فراکتال ها محسوب می شود.

مندل برو در نوجوانی، آموزش و تعلیمات رسمی منظمی کسب نکرد و به گفته خودش هیچ گاه نتوانست الفبا و جدول ضرب را درست و حسابی فرا بگیرد، اما در عین حال در برخی حوزه های زبان شناسی، نظریه بازیها و احتمالات، دانش هوانوردی ، مهندسی ، علم اقتصاد، فیزیولوژی، جغرافیا، نجوم و صد البته فیزیک کارشناس و خبره بود.

مندل برو پدر فراکتال

مندل برو از دانش پژوهان مشتاق تاریخ علم نیز بود و از همه مهم تر جزو نخستین ریاضیدانان جهان به لحاظ دسترسی به رایانه های پر سرعت محسوب می شود.

بنوا مندل برو ،کشفیات بزرگ خود را با سرپیچی و تمرد از قدرت حاکم زمانه یا همان ریاضیات آکادمیک صورت داد. در گذشته، علوم و ریاضیات بر محور نظام های محدودی در سه بعد نخست (یا همان خط، سطح و فضا) دور می زدند، که ظاهرا با جهان واقعی و مختصاتش که بعد چهارم گفته می شد، میانه ای نداشتند.

نوعی کلم و نقوش فراکتالی

در حقیقت، ما در بعد چهارم یا پیوستار فضا – زمان زندگی می کنیم. گرچه از زمان اینشتین به بعد بود که فهمیدیم، حتی بعد سوم واقعا وجود ندارد و تنها مدلی برای واقعیت می تواند باشد، اما پس از مندل برو بود که تازه متوجه شدیم بعد چهارم واقعا چیست و چگونه به نظر می رسد و از چهره فراکتالی آشوب و بی نظمی باخبر شدیم؛ کسی که چهره اصلی نظریه پردازی آشوب در زمانه ما محسوب می شود.

تحقیقات مندل برو نهایتا به ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال دستاورد بزرگی منجر شد که در یک فرمول ساده ریاضی خلاصه می شود. این فرمول که امروز به افتخار نام مخترعش مجموعه مندل برو نامیده می شود و برخی آن را بزرگترین کشف ریاضیات قرن بیستم می دانند یک حساب دینامیک و پویا بر اساس تکرار اعداد مرکب با صفر به عنوان نقطه شروع است.

فرمول مندل برو خلاصه ای از درک و بینشهای بسیاری است که مندل برو از هندسه فراکتال طبیعت یا همان جهان واقعی بعد چهارم به دست آورده است. فرمول مندل برو در تضاد آشکار با جهان آرمانی اشکال اقلیدسی بعدهای اول تا سوم است که دغدغه خاطر تقریبا تمامی ریاضیدانان پیش از مندل برو بوده است.

فرکتالی از مجموعه “مندل برو”

همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند

این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند. برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.

شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

ویژگی‌های تئوری آشوب (بی‌نظمی)

همانطور که ذکر گردید با بال زدن یک پروانه در یک کشور آفریقایی ممکن است طوفانی در قاره آمریکا رخ دهد. که این اثر را اثر پروانه‌ای نام‌گذاری کردیم.

سیستم‌های بی‌نظم در ارتباط با محیطشان مانند موجودات زنده عمل می‌کنند و نوعی تطابق و سازگاری پویا بین خود و محیط پیرامونشان ایجاد می‌کنند.

این جاذبه‌ها نوعی بی‌نظمی در خود دارند که اگر با دقت به آن‌ها بنگریم و نوع دیدگاهمان را نسبت به آن‌ها عوض کنیم. به نظم عمیق آن‌ها پی خواهیم برد. به طور مثال تصاویر هندسی برگرفته شده از قوم اینکا در صحرای پرو حاکی آن است که اگر از نزدیک به آن‌ها بنگریم بی‌نظمی‌ها را نشان می‌دهند اما اگر از دور دست به آن‌ها بنگریم تصاویر معناداری را در ذهن متبادر می‌سازد. این نوع جاذبه‌ها حاوی مطالب مهمی هستند و آن اینست که در نظر اول نباید محیط پیرامون خود را آشوب ناک توصیف کنیم بلکه با تغییر دیدگاه خود می‌توان این آشوب را به یک نظم تبدیل کرد.

در تئوری آشوب؛ نوعی شباهت بین اجزا و کل قابل تشخیص است. بدین ترتیب که هر جزئی از الگو همانند و متشابه کل می‌باشد. خاصیت خود مانایی در رفتار اعضای سازمان نیز می‌تواند نوعی وحدت ایجاد کند؛ همه افراد به یکسو و یک جهت و هدف واحدی نظر دارند. این ویژگی ازنظریه بی‌نظمی؛ بیشتر در فرکتال‌ها مورد بررسی قرار می‌گیرد.

نظریه بی‌نظمی در شاخه‌های مختلف ۱. اقتصاد ۲. فیزیک ۳. ریاضی ۴. پرستاری ۵. مدیریت ۶. موسیقی و…

جریان متلاطم اطراف بال هواپیما به ظاهر بی نظم است اما در واقع در عمق آن نظمی بزرگ نهفته است.

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.

حال میانه ۳ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.

در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است. اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد و حتی احتمال بروز حمله قلبی در آنها را حدس زد و از آن جلوگیری کرد.ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند. پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود. در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.

این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.

در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.

بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

شما نیز با دقت بیشتر به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی و به اصطلاح خشک بودن ریاضی بکاهید.

math world (جهان ریاضی)

شاید تا کنون بارها نام فراکتالها یا برخالها را شنیده باشید؛ موجوداتی که به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.
این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد، اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند، اما هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال بازی کردند.

برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم ، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم ، که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است ، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است ، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.
شاید به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال دانست ، اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد و به تعریفی رسید که تقریبا مورد تایید عمومی قرار دارد.

بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.

برای مثال ، یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است. بیایید هربار پاسخ معادله را به عنوان متغیر جدید به این سیستم وارد کنید .

سری جوابی که به دست خواهد آمد، دنباله ای از اعداد است که رفتاری آشوبناک دارد و اگر آنها را تصویر کنیم به یک الگوی واقعی آشوب می رسیم ؛ مثلا معادله ساده x3+c که در آن c یک عدد مختلط است ، اگر یک بار یک عدد به x نسبت دهیم و دفعات بعد به جای عدددلخواه پاسخ قبلی معادله را به xنسبت دهیم ، نمونه بسیار جذابی از یک رابطه آشوبناک به دست می آید؛ رابطه ای که زیبایی های خود را آشکار خواهد کرد، اما نکته ای هم مشخص است.

همین طور که از مثال مشخص شده ، یکی از شناسه های مهم سیستم های آشوب در این است که بازخورد یک رفتار بر ادامه فعالیت آن تاثیر می گذارد؛ یعنی همواره اولین محصول خروجی در ادامه روند نقش بازی می کند؛ همانند زاد و ولد موجودات ، اگر بخواهیم روند زاد و ولد انسان یا هر موجود دیگری را در نظر بگیریم ، باید توجه کنیم که نسل اول کودکان اگرچه محصول این سیستم هستند، اما در تعیین ادامه روند سیستم نقش بازی می کنند.

فراکتالها
اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.

ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم ، تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم ، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد و از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد. بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم. یک مثلث متساوی الاضلاع رسم کنید.
حال میانه 3ضلع را مشخص کرده و از رسم آنها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید. همین بلا را بر سر 3مثلث تشکیل شده بیرونی بکنید و این روند را تا آنجا که می توانید ادامه دهید. شما با استفاده از یک رابطه ساده - که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آنها به هم بود - و با تکرار آن موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید.

چنان اشکالی اجزای سازنده هندسه جدی فراکتالی هستند؛ هندسه ای که به قول یکی از خالقان آن ، یعنی مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار می دهد.این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند. کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.
در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است. این یکی از خصوصیات زیبای فراکتالهاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.

اگر تا به حال به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید. ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.

اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید. اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی.
این ها ابعادی کسری دارند؟ فراکتالها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، زمانی توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند. معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عدی ذخیره شود و زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد و نمایش دهد، باید بتواند این کدهای عدی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند و آن را به نمایش بگذارد. مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده ها ست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد،نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم و این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد، به همین دلیل ، روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.

اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید. برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، عملا این امکان را در اختیار مردم قرار می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

برای این فشرده سازی از روشهای مختفی استفاده می شود. درواقع در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد سعی می شود به جای ضبط تمام داده های یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می داد. در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد و با استقبال بسیار خوبی از سوی طراحان مواجه شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتالی بود. در این روش از این ویژگی اصلی فراکتالها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.برای درک بهتر به یک مثال نگاهی بیندازیم. فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.

همان طور که قبلا هم اشاره شد، این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد؛ یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی از یک برگ کوچک ،برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه اصلی را تشکیل می دهد. اگر بخواهیم تصویر این برگ را به روش عادی ذخیره کنیم ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم ، اما راه دیگری هم وجود دارد. بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید. در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.

در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف ، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.

در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده ، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد، اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند و بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.

بنابراین باید روشی بتواند الگوهای فراکتالی حاضر در یک تصویر را شناسایی کنند و در صورت امکان آن را اعمال کند.

به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال کار برده می شود؛ یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید. یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.

مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است ؛ حتی اگر در نگاه اول چندان آشکا ر نباشد.

فراکتال ها Fractals

تشخیص فراکتال ها در بازار فارکس، دید تحلیلگر را بسیار قوی و منظم تر میکند.
با توضیحات این مقاله می توانید ساختار فرکتالی را آسوده تر تشخیص دهید.

فرکتال چیست؟

همه شما حتی چنانچه از هندسه هم چیزی ندانید بارها اسم آن را شنیده اید .
حتماً میدانید که «جبر , حساب و هندسه» سه شاخه کلیدی از ریاضی ها است .
همین سه تیتر در ریاضیات اساس گذار ترقی در تمام علم ها محسوب میشوند .
احتمال دارد همین احساس مسئولیتی که ریاضیات به تمام قسمت های علوم دارد آن را بسیار جدی و دشوار جلوه داده است .

در این میان هندسه نقش بسیار مهمی در شاخه های ریاضی دارد.
هندسه که می توان به آن علم بازی با اشکال لقب داد، پایه گذار دیگر شاخه های ریاضی است.
زیرا تمام قسمت های دیگر در ریاضیات و علوم دیگر تا به صورت مشهودی قابل بررسی دقیق و اصولی نباشد جای پیشرفت ندارند.
با این اوصاف، شایسته است به هندسه لقب «مادر بزرگ علوم» دهیم.
شاید اگر زمانی که حوزه اطلاعاتمان از اعداد تنها به مجموعه اعداد طبیعی منتهی می شد و معلم درس ریاضیات از ما می خواست تا ضلع سوم مثلث قائم الزاویه ای را که طول هر ضلعش یک سانتی متر است اندازه بگیریم نمی توانستیم عددی را با چنین ویژگی بیابیم.

هندسه اقلیدس:

سال ها پیش اقلیدس با حل مسئله ای نظیر (محاسبه قطر مربعی که هر ضلعش ۱ واحد بود)، سلسله اعداد جدیدی را به مجموعه های شناخته شده اضافه کرد.
که یکی از شاهکارهای بی نظیر در پیشرفت ریاضیات و البته علوم بود.
این عدد عجیب و غریب «رادیکال ۲» بود.
دست کم در طول دوران تحصیل خود در کتاب های درسی با این هندسه که بر مبنای اندازه گیری است آشنا شده ایم.
اما هندسه اقلیدسی تنها به بررسی اشکال کلاسیک موجود در طبیعت می پردازد.
در این هندسه اشکال و توابع ناهموار، آشفته و غیر کلاسیک به بهانه اینکه مهار ناپذیرند، جایی نداشتند.

هندسه فرکتال:

در سال ۱۹۹۴، طلسم یکی از تئوری های ریاضی که از سال۱۸۹۷، عنوان شده بود، شکست.
«مندلبرات» ریاضیدان لهستانی، پایه گذار هندسه جدیدی شد که به آن هندسه بدون اندازه یا هندسه فرکتالی گویند.
هندسه بدون اندازه یکی از شاخه های جدید ریاضیات است که در برابر شبیه سازی اشکال مختلف طبیعت از خود انعطاف نشان داده است.
با به کارگیری هندسه فرکتالی، افق روشنی پیش روی ریاضیدانان و محققان قرار گرفت.

واژه فراکتال به ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال معنای سنگی است که به شکل نامنظم شکسته شده باشد.

در این نوع هندسه اشکالی مورد بررسی قرار می گیرند که بسیار نامنظم به نظر می رسند.
اما اگر با دقت به شکل نگاه کنیم متوجه می شویم که تکه های کوچک آن کم و بیش شبیه به کل شکل هستند.
به عبارتی جزء در این اشکال، نماینده ای از کل است.
به چنین اشکالی نام «خود متشابه» نیز می دهند.

اشکال فراکتالی چنان با زندگی روزمره ما گره خورده که تعجب آور است.
با کمی دقت به اطراف خودتان، می توانید بسیاری از این اشکال را بیابید.
از گل فرش زیر پای شما و گل کلم درون مغازه های میوه فروشی گرفته تا شکل کوه ها، ابرها، دانه برف و باران، شکل ریشه، تنه و برگ درختان و بالاخره شکل سرخس ها، سیاهرگ و شش و… همه اینها نمونه هایی از اشکال فرکتالی اند.
این موجودات به عنوان اصلی ترین بازیگران هندسه منتج از نظریه آشوب شناخته می شوند.
این هندسه ویژگی های منحصر به فردی دارد، که می تواند توجیه گر بسیاری از رویدادهای جهان اطراف ما باشد.
اما ویژگی اصلی که در تعریف آشوب و بالطبع هندسه آن وجود دارد، باعث می شود ما استفاده ویژه ای از این سیستم ببریم.

این روزها از فراکتالها به عنوان یکی از ابزارهای مهم در گرافیک رایانه ای نام می برند.
هنگام پیدایش این مفهوم جدید بیشترین نقش را در فشرده سازی فایلهای تصویری بازی کردند.
برای آن که درک بهتری نسبت به فراکتالها داشته باشیم، بد نیست نگاه مختصری به آشوبی بیندازیم که فراکتال ها فضای هندسی آنها را تعریف می کند.

تعریف آشوب

فصل مشترک تعاریفی که برای مفهوم آشوب ارائه شده است، تاکید بر این نکته است که آشوب دانش بررسی رفتار سیستم هایی است که اگرچه ورودی آنها قابل تعیین واندازه گیری است، اما خروجی این سیستم ها ظاهری کتره ای و تصادفی دارد.
به همین دلیل بود که استوارت ریاضیدان برجسته این موضوع را مفهومی احتمالاتی می دانست.
اما چیزی نگذشت که وی تعریف خود را اصلاح کرد.
بر اساس این تعریف ، آشوب به توانایی یک الگو و مدل ساده گفته می شود که اگرچه خود این الگو هیچ نشانی از پدیده های تصادفی در خود ندارد، اما می تواند منجر به ظهور رفتارهای بسیار بی قاعده در محیط شود.
برای مثال: یک دنباله ریاضی از اعداد را در نظر بگیرید که برای توضیح یک پدیده مشخص وضع شده است.

اگرچه آشوب نظریه ای است که بر موضوعات گوناگون اجتماعی و سیاسی و اقتصادی نظر دارد، اما نیازمند زبانی برای تصویر سازی مفاهیم خود بود و این عرصه ای بود که هندسه آشوب یا فراکتالها خلق کردند.
ما در هندسه آشوب با تصاویر متفاوتی سرو کار داریم.
تصاویری که بزرگترین خصوصیات آنها این است که وقتی رسم آن را آغاز می کنیم، نمی دانیم در نهایت با چه پدیده ای روبه رو خواهیم شد.
از سوی دیگر بازخورد در آن نقش اساسی دارد.

بیایید یک فرمول کلی را اجرا کنیم!

یک مثلث متساوی الاضلاع ترسیم نمایید .
اکنون وسط ۳ضلع را معلوم کرده و از ترسیم آن ها به هم مثلث متساوی الساقین جدیدی به دست آورید .
همین بلا را بر سر ۳مثلث تشکیل‌شده بیرونی بکنید و این فرآیند را تا آنجا که میتوانید ادامه دهید .
شما با به کارگیری از یک ارتباط ساده که تقسیم اضلاع مثلث به نصف و اتصال آن ها به هم بود و با تکرار آن , موفق به رسم نقشه یک ساختار فراکتالی شده اید .
چنان اشکالی اجزای آفریننده هندسه دورازشوخی فراکتالی میباشند , هندسه ای که به قول مندلبرات ابزاری را برای دیدن بی نهایت در اختیار ما قرار میدهد .

این اشکال یک مشخصه بسیار عمده دارند!

کل شکل از اجزایی مشابه شکل اول تشکیل شده است.
در مثال خودمان مثلث بزرگ از مجموعه ای مثلثهای همسان به وجود آمده است.
این یکی از خصوصیات زیبای فراکتال هاست که همزمان از سوی طبیعت و فناوری به کار گرفته شده است.
اگر به یک برگ سرخس نگاه کرده باشید، می توانید متوجه تشابه اجزای مختلف آن شوید.
ساختار کل ساقه همانند یک برگ و ساختار یک برگ همانند یک جزو کوچک آن است.
اگر فرصت کردید نگاهی هم به سواحل دریاها یا تصاویر هوایی کوهستان ها و گیاهان اطرافتان بیندازید، بسرعت درخواهید یافت که در جهانی آشوب زده احاطه شده اید.

با استفاده از فرکتال ها به راحتی می توان نوار قلب بیماران را تفسیر کرد.
ممکن است روزی فرکتال ها در فهمیدن چگونگی کار مغز یا ارگانیسم بدن بسیار کارآ و مؤثر واقع شوند.
پیدا کردن پیوندهای بین علم و زندگی، آن رویی از سکه است که متاسفانه در کشور ما اصلاً به آن توجهی نمی شود.
در صورتی که پیدا کردن و بیان این پیوندها می تواند تاثیرات بسیاری بر پیشرفت علوم و عمومی کردن آن داشته باشد.

ابعاد فراکتال ها چگونه است؟

اگر هنوز از این موجودات ساده و در عین حال پیچیده هیجان زده نشده اید، این نکته را هم بشنوید.
این اجسام نه یک بعدی اند، نه دو بعدی و نه سه بعدی. این ها ابعادی کسری دارند؟
فراکتال ها دقیقا به دلیل همین خاصیت ویژه ای که دارند، توانستند روشی برای ذخیره سازی تصاویر ارائه دهند.
معمولا زمانی که یک تصویر گرافیکی قرار است به شکل یک فایل تصویری ذخیره شود، باید مشخصات هرنقطه از آن (شامل محل قرار گیری پیکسل و رنگ آن به صورت داده هایی عددی ذخیره شود.
زمانی که یک مرور گر بخواهد این فایل را برای شما به تصویر بکشد، باید بتواند این کدهای عددی را به ویژگیهای گرافیکی تبدیل کند.
مشکلی که در این کار وجود دارد، حجم بالایی از داده هاست که باید از سوی نرم افزار ضبط کننده و تولید کننده بررسی شود.

اگر بخواهیم تصویر نهایی ما کیفیتی عالی داشته باشد، نیازمند آنیم که اطلاعات هریک از نقاط تشکیل دهنده تصاویر را با دقت بالایی مشخص و ثبت کنیم.
این حجم بسیار بالایی از حافظه را به خود اختصاص می دهد.
به همین دلیل ،روشهایی برای فشرده سازی تصویر ارائه می شود.
اگر نگاهی به فایلهایی که با پسوندهای مختلف ضبط شده اند، بیندازید متوجه تفاوت فاحش حجم آنها می شوید.
برخی از این فرمتها با پذیرفتن افت ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال کیفیت بین تصویر تولیدی و آنچه آنها ذخیره می کنند، این امکان را می دهند، که بتوانند فایلها و تصاویر خود را روی فلاپی ها و با حجم کمتر ذخیره کنند یا روی اینترنت قرار دهند.

فشرده سازی الگو های فراکتالی!

در فشرده سازی از روشهای مختلفی استفاده می شود.
در این فشرده سازی ها بر اساس برخی الگوریتم های کار آمد به جای ضبط تمام داده ها، یک پیکسل مشخصات اساسی از یک ناحیه ذخیره شود، که هنگام باز سازی تصویر نقشی اساسی تر را ایفا می کنند.
در اینجاست که روش فراکتالی اهمیت خود را نشان می دهد.
در یکی از روشهایی که در این باره مطرح شد، روش استفاده از خاصیت الگوهای فراکتال بود.
در این روش از این ویژگی اصلی فراکتال ها استفاده می شد که جزیی از یک تصویر در کل آن تکرار می شود.

یادتان نرود، شما در جهانی زندگی می کنید که براساس یافته جدید ساختاری آشوبناک دارد.
مطمئن باشید هندسه فراکتال بر بسیاری از اشکال عالم حاکم است؛حتی اگر در نگاه اول چندان آشکار نباشد.
با دقت به اطرافتان و یافتن ارتباط های ملموس بین ریاضی و زندگی می توانید از سختی ریاضی بکاهید.

برای درک بهتر فراکتال ها به یک مثال نگاهی بیندازیم:

فرض کنید تصویری از یک برگ سرخس تهیه کرده اید و قصد ذخیره کردن آن را دارید.
این برگ ساختاری کاملا فراکتالی دارد. یعنی اجزای کوچک تشکیل دهنده در ساختار بزرگ تکرار می شود.
بخشی کوچکی از یک برگ، برگ را می سازد و کنار هم قرار گرفتن برگها ساقه را تشکیل می دهد.
برای ذخیره تصویر عادی برگ، باید مشخصات میلیون ها نقطه این برگ را دانه به دانه ثبت کنیم.
اما راه دیگری هم وجود دارد!

بیایید و مشخصات تنها یکی از دانه های اصلی را ضبط کنید.
در این هنگام با اضافه کردن چند عملگر ریاضی ساده بقیه برگ را می توانید تولید کنید.
در واقع ، با در اختیار داشتن این بلوک ساختمانی و اعمال عملگرهایی چون دوران حول محورهای مختلف، بزرگ کردن یا کوچک کردن و انتقال می توان حجم تصویر ذخیره شده را به طور قابل توجهی کاهش داد.
در این روش نرم افزار نمایشگر شما هنگامی که می خواهد تصویر را بازسازی کند، باید ابتدا بلوک کوچک را شبیه سازی کرده، سپس عملگرهای ریاضی را روی آن اعمال کند، تا نتیجه نهایی حاصل شود.

به نظر می رسد این روش می تواند حجم نهایی را به شکل قابل ملاحظه ای کاهش دهد.
اما تنها یک مشکل کوچک وجود دارد و آن هم این نکته است که همه اشیای اطراف ما برگ سرخس نیستند.
بنابراین الگوهای تکرار در آنها همیشه اینقدر آشکار نیست.
باید روشی بتواند الگوهای فراکتال حاضر در یک تصویر را شناسایی و در صورت امکان آن را اعمال کند.
به همین دلیل ، معمولا روش فراکتالی با روشهای فشرده سازی دیگر همزمان به کار برده می شود؛
یعنی اگر الگوهای تکرار چندان پررنگ نبودند، بازهم فشرده سازی امکانپذیر باشدالبته زیاد نگران ناکارامدی این روش نباشید.

تئوریسین فراکتال ها:

مندلبورت در سال ۱۹۲۴ در لهستان بدنیا آمد.
او مبانی ریاضیات را از دو عموی خود فرا گرفت و در سال ۱۹۳۶ به فرانسه مهاجرت کرد.
در آنجا با کمک یکی دیگر از عموهایش که پروفسور ریاضیات بود اقامت فرانسه را گرفتند.
این مهاجرت باعث شد تا وی بیشتر به ریاضیات علاقمند شود.
اما جنگ جهانی دوم شروع شده بود و مندلبورت هراس این را داشت که نتواند به ریاضایات بپردازد.

عدم تحصیل دانشگاهی برای او یک مزیت بود.
او دیگر به پدیده های هستی به چشم یک ریاضیدان یا دانشمند آکادمیک نمی نگریست.
این طرز آموزش همچنین به وی فرصت داد تا روشهای بسیار جالبی برای استفاده از هندسه در ریاضیات ابداع کند.
نبوغ ذاتی او در هندسه باعث شد تا بتواند بسیاری از مسائل ریاضی را با روشهای هندسی حل کند.
او در سال ۱۹۴۴ فرصت آنرا یافت تا در امتحانات پلی تکنیک قبول شود.
پس ویژگی های منحصر به فرد از فرکتال از پایان تحصیلات به آمریکا رفت و در انستیتوی مطالعات پیشرفته پرینستون مشغول به فعالیت شد.

بعد از ده سال دوباره به پاریس برگشت و شروع به کار برای مرکز ملی پژوهش ها علمی فرانسه نمود .
طولی نکشید که وصلت کرد و دوباره به ایالات متحده بازگشت و در آنجا با یک کمپانی آغاز به همیاری نمود .

تئوری فراکتال ها علاوه بر زیبایی خاصی ریاضی , از روشهای کاربردی در تفسیر و مدلسازی طبیعت میباشد .
آشنایی با فرکتال ها به هنرمندان اجازه میدهد تا اثر ها هنری بسیار زیبایی را خلق نمایند .